giovedì 15 dicembre 2016

Dinamica delle popolazioni

Una verifica del principio di Malthus

Il laboratorio sulla dinamica delle popolazioni è una specie di test, una prova di quest'idea che è alla base delle attività di scuola-lavoro. La realizzazione di questo laboratorio e del materiale a corredo, oltre ad avere valore di per se stessa, è servita per mettere a punto le procedure, i meccanismi, la grafica e tutto quello che può servire per il completamento del progetto.
Realizzato grazie alla collaborazione di Silvia Basile ed Eleonora Grassucci, su un'idea di Mimmo Iannelli (Università di Trento, Dipartimento di Matematica). Un’introduzione online sulla teoria matematica delle popolazioni si può trovare seguendo questo collegamento.
Il laboratorio è stato completato nella primavera del 2017 e il fascicolo corrispondente si può scaricare seguendo questo collegamento. Per ulteriori informazioni si può leggere il post Il secondo fascicolo: Dinamica delle popolazioni.

La dinamica delle popolazioni

Alcune pagine del fascicolo dedicato al principio di Malthus
Sin dalla fine del Settecento numerosissime sono state le ricerche riguardanti la crescita demografica della popolazione mondiale. Effettivamente, come è facile pensare, l’uomo, seguendo gli ideali umanistici, ha da sempre prestato attenzione a se stesso e agli eventi a lui direttamente collegati come nascite, morti e malattie. La demografia quindi è proprio una scienza che studia l’aspetto quantitativo dell’andamento della popolazione, cercando di costruire un modello matematico, ovvero di una semplificazione astratta della realtà che permetta l’analisi di un singolo
aspetto del fenomeno studiato.
Sostanzialmente il metodo per studiare una popolazione è suggerito da Vito Volterra nel 1927:
Per poter trattare la questione matematicamente conviene partire da ipotesi che, pure allontanandosi dalla realtà, ne diano una immagine approssimata. Anche se la rappresentazione sarà, almeno in un primo momento, grossolana, pure, se essa sarà semplice, vi si potrà applicare il calcolo e verificare o quantitativamente o anche qualitativamente se i risultati che si ottengono corrispondono
ai dati statistici e quindi saggiare la giustezza delle ipotesi di partenza e avere il terreno preparato per nuovi risultati.
(Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi, pubblicato nelle Memorie del R. Comitato talassografico italiano, Mem. CXXXI, 1927).
Seguendo questo principio, qui vorremmo proporre un laboratorio che verifichi la correttezza
Popolazione e PIL USA tra il 1800 e il 1900
o meno di un principio - il principio di popolazione - confrontando il modello matematico, per
quanto semplificato, con dati statistici reali.

Il principio di Malthus

Il principio di popolazione fu proposto da Thomas Robert Malthus in un suo famoso saggio nel 1798 e in parole molto semplici si può enunciare in questo modo: la popolazione di un paese aumenta con progressione geometrica, le risorse invece crescono in progressione aritmetica. Citando testualmente:
Taking the population of the world at any number, a thousand millions, for instance, the human species would increase in the ratio of 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, etc. and subsistence as 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc. In two centuries and a quarter, the population would be to the means of subsistence as 512 to 10: in three centuries as 4096 to 13, and in two thousand years the difference would be almost incalculable, though the produce in that time would have increased to an immense extent. (Essay on the Principle of Population as it Affects the Future Improvement of Society with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and Other Writers, Saggio sul principio di popolazione e sui suoi effetti sul futuro miglioramento della società, 1798 pubblicato con lo pseudonimo J. Johnson).
Traducendo liberamente:
Considerando una popolazione mondiale pari a un miliardo di individui, per esempio, questa aumenterebbe nel rapporto di 1, 2, 4, 8 ... mentre le risorse come la progressione 1, 2, 3, 4 ... In due secoli e un quarto il rapporto tra popolazione e risorse sarebbe di 512 a 10, in tre secoli come 4096 a 13 e in duemila anni il rapporto sarebbe praticamente incalcolabile anche se la produzione di risorse fosse aumentata di una quantità immensa. In altre parole, la popolazione cresce in modo esponenziale mentre le risorse aumentano in modo lineare.
Uno scenario apocalittico!
Il nostro scopo è allora quello di controllare se, nel secolo successivo alla pubblicazione del saggio, questa previsione (profezia?) si è realizzata oppure no costruendo un modello matematico per l’aumento della popolazione degli Stati Uniti nel XIX secolo confrontandolo con un modello analogo realizzato per la produzione di grano nello stesso periodo.

Prerequisiti

Per questo laboratorio è necessario conoscere:
  • la geometria analitica della retta
  • logaritmi ed esponenziali e loro proprietà (in particolare è necessario saper tracciare il grafico di funzioni esponenziali)

Obiettivi

Confrontare un modello per la crescita della popolazione, ottenuto approssimando i dati della
popolazione degli Stati Uniti tra il 1800 e il 1900, con il modello ricavato dai dati della produzione
di grano nello stesso periodo sempre negli USA. Sarà necessario conoscere un metodo per
approssimare dati lineari ed esponenziali.
I risultati del laboratorio tracciati usando GeoGebra: in colore rosso più scuro la spezzata ottenuta rappresentando i dati sul piano cartesiano, in rosso più chiaro la curva esponenziale ottenuta approssimando i dati, tratteggiata in arancione la regressione realizzata direttamente da GeoGebra con un modello esponenziale. In azzurro gli stessi dati in scala logaritmica.

giovedì 8 dicembre 2016

xMaxima

In molti casi, nei laboratori proposti da RiA - Research in Action, i dati da manipolare proverranno da esperimenti reali e misure concrete, effettuate in veri esperimenti per cui non sarà facile effettuare i calcoli necessari alla costruzione e alla gestione del modello: carta e penna non basteranno!
Sarà necessario allora ricorrere a un’applicazione CAS - Computer Algebra System, capace di eseguire calcoli simbolici, derivate, e quant’altro sia necessario. In questa serie di laboratori abbiamo usato xMaxima un’applicazione open source abbastanza semplice da usare.
La scelta è caduta su xMaxima per la sua potenza e la sua relativa facilità d’uso una volta che ci si è impadroniti dei comandi principali ma anche perché gli studenti familiarizzino con applicazioni a riga di comando.

xMaxima infatti è un'applicazione completa per il calcolo simbolico ma anche per quello numerico, in grado di manipolare espressioni, funzioni, vettori, matrici, liste, applicando comandi e istruzioni all'algebra, all'analisi matematica e numerica, alla statistica. Integra un linguaggio di programmazione, mediante il quale è possibile definire nuove funzionalità che però in questi laboratori non viene usato. Maxima è figlio del programma Macsyma (MAC's Symbolic Manipulation) nato negli anni sessanta al MIT (Massachessets Institute of Technolgy) come primo sistema di calcolo algebrico, svilupato e mantenuto dal professor William Shekter fino alla sua morte nel 1988 è divenuto open source.
Ci sono versioni di xMaxima per molti sistemi operativi, incluso Microsoft Windows e Android. L'applicazione si può scaricare seguendo questo collegamento, sullo stesso sito (ma anche online) è possibile trovare molto materiale didattico, manuali e tutorial.

Una schermata di xMaxima verione per Microsoft Windows